Анатолий Анатольевич Котесов, кандидат технических наук, доцент кафедры эксплуатации транспортных систем и логистики
344003, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1
Anatoly A. Kotesov, Cand.Sci. (Eng.), Associate Professor of the Department of Transport Systems and Logistics
1, Gagarin Sq., Rostov-on-Don, 344003
Введение. Оценка параметров вероятностных законов распределения с использованием вероятностных сеток находит широкое применение на практике, особенно в современных программных комплексах. Такой подход активно используется для статистического анализа, где результаты вычислений представляются в виде вероятностного графика, что даёт возможность оценить соответствие набора данных предполагаемой вероятностной модели и выявить выбросы. В контексте вероятностной оценки нагруженности элементов машин и конструкций некоторые авторы предлагают применять закон Фишера – Типпета. Этот закон характеризуется функцией распределения, которая содержит три параметра и ориентирована на максимум, что обеспечивает гибкость в описании статистических данных и позволяет получать оценку максимального значения в контексте нагруженности. Тем не менее, в существующей литературе недостаточно обоснованы графическое представление результатов вычислений и методика оценки параметров, в том числе и с использованием метода вероятностной сетки, что ограничивает практическое применение закона Фишера – Типпета. Таким образом, основная цель данного исследования заключается в обосновании и разработке методики оценки параметров закона Фишера – Типпета с использованием метода вероятностной сетки.
Материалы и методы. В качестве материалов рассматривались принципы и теоретические основы построения вероятностных сеток, предварительная группировка данных и ранговый метод оценки эмпирической функции распределения. Обосновывались аналитические зависимости для построения вероятностной сетки и оценки параметров закона Фишера – Типпета. Использовались метод математического моделирования и сравнительный анализ. Для моделирования задействовали программный комплекс «Матлаб 8.6». Данные обобщали в табличном формате и визуализировали в виде графиков.
Результаты исследования. Обоснована и показана на примере методика построения вероятностного графика и методика графической оценки параметров закона Фишера – Типпета. Представлены график эмпирической функции распределения и вероятностный график с описанием позиций. Предложена методика построения специальной шкалы для оценки параметра формы, ориентированной на точку отсчета в начале координат. Выполнен сравнительный анализ оценок параметров, полученных графическим и аналитическим методами. Сопоставлялись оценки параметров масштаба, формы и сдвига. Относительная погрешность оценок методом вероятностной сетки не превышает 2 %. Показатель для параметра масштаба — 1,83 %; формы — 0,67 %, сдвига — 0,45 %. Соответствующие итоги аналитической оценки: 4,4 %, 9,33 % и 2,13 %. В данном случае погрешность выше, однако это не значит, что аналитический метод менее точен.
Обсуждение и заключение. Показана адекватность предложенной методики графической оценки параметров закона Фишера – Типпета методом вероятностной сетки. Ее можно применять, например, в программных комплексах или пользовательских приложениях. Специальная шкала для графической оценки параметра формы также подходит для оценки параметра формы закона Вейбулла. Полученные аналитические зависимости, положения методики и графический материал можно использовать при разработке соответствующего национального стандарта.
Introduction. Estimation of the parameters of probability distribution laws using probability grids is widely used in practice, particularly in modern software systems. This approach is actively employed for statistical analysis, where the calculation results are presented as a probability graph. This allows for the assessment of the correspondence between a given data set and a proposed probability model, as well as the identification of outliers. In the context of probabilistic assessment of the loading of machine elements and structures, some authors suggest applying the Fisher–Tippett law. This law is characterized by a distribution function with three parameters and is oriented to the maximum. This provides flexibility in the description of statistical data and enables the estimation of the maximum value in the context of loading. Nevertheless, the existing literature has not sufficiently substantiated the graphical representation of calculation results and the method of parameter estimation, including the use of the probability grid method, which limits the practical application of the Fisher–Tippett law. Therefore, the aim of this study is to justify and develop a methodology for estimating parameters of the Fisher–Tippett law using the probability grid method.
Materials and Methods. The principles and theoretical foundations of constructing probability grids, the preliminary grouping of data, and a ranking method for estimating the empirical distribution were considered as the materials for the study. Analytical dependencies for constructing a probability grid and estimating the parameters of the Fisher–Tippett law were justified. The method of mathematical modeling and comparative analysis were employed. The Matlab 8.6 software package was utilized for modeling. The data were summarized in a tabular format and visualized in the form of graphs.
Results. The method of constructing a probabilistic graph and the method of graphical estimation of the parameters of the Fisher–Tippett law were justified and demonstrated by example. A graph of the empirical distribution function and a probability plot with a description of the locations were presented. A method for constructing a special scale for estimating the shape parameter centered on the origin was proposed. A comparative analysis of parameter estimates obtained using graphical and analytical methods was performed. Estimates of the scale, shape, and shift parameters were compared. The relative error in estimates using the probability grid method was not more than 2%. The indicator for the scale parameter was 1.83%; for the shape parameter was it 0.67%, and for the shift parameter it was 0.45%. Corresponding results of the analytical assessment were 4.4%, 9.33% and 2.13%. In this case, the error was higher, but it did not mean that the analytical method was less accurate.
Discussion and Conclusion. The adequacy of the proposed method of graphical estimation of the parameters of the Fisher–Tippett law by the probabilistic grid method has been demonstrated. This method can be applied, for example, within software packages or user applications. A special scale for graphically estimating the shape parameter can also be used to estimate the shape parameter of the Weibull law. The obtained analytical dependencies, the provisions of the methodology and the graphical materials can be used in the development of the corresponding national standard.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.