Введение. Обильное цветение вредоносных видов фитопланктона является проблемой многих водоемов России и всего мира. В большей мере этому процессу подвержены прибрежные системы эстуарного типа, такие как Таганрогский залив, в силу ряда особенностей: обильный сток биогенных веществ с речными водами, равномерный прогрев из-за небольшой глубины, перепады глубин и солености. Вспышки цветения потенциально токсичных водорослей несут угрозу здоровью местного населения, наносят вред рыбному хозяйству, могут приводить к заморным явлениям и другим негативным последствиям. В Таганрогском заливе опасными являются микроводоросли, относящиеся к отделу цианофит, их биомасса в летний период составляет около 70 %, а иногда достигает 90 % от общей биомассы фитопланктона [1].

Цианофиты также называют цианобактериями, или менее формально синезелеными водорослями. Этот вид фитопланктона отличают от других видов несколько особенностей, являющихся преимуществами в их конкурентной борьбе за ресурсы, что и объясняет высокую долю их биомассы. В первую очередь, цианобактерии являются прокариотами и имеют очень простую клеточную структуру, подобную бактериальной, без ядра, митохондрий, аппарата Гольджи или эндоплазматической сети. По отдельности цианофиты невелики, по сравнению с другими видами водорослей, но они часто образуют массивные колонии или нити. Плавучесть синезеленым водорослям обеспечивают газовые вакуоли, которые позволяют им менять плотность, что приводит к движению их в водной толще в вертикальном направлении [2]. Такой механизм обеспечивает лучший доступ либо к свету, либо к питательным веществам [3], а наличие питательных веществ в водоеме играет большую роль в изменении плотности [4]. Все это дает цианобактериям преимущество перед другими видами планктона. Кроме того, турбулентная диффузия и скорость движения водной среды в вертикальном направлении могут влиять на вертикальную миграцию цианобактерий [5].

В прибрежных системах цианобактерии представляют интерес по причине их потенциальной токсичности, они к тому же играют важную роль в производстве первичной продукции фитопланктона. Токсины, выделяемые цианобактериями, у разных видов свои и могут быть нейротоксинами, гепатотоксинами или эндотоксинами. Токсины не всегда выделяются во время цветения. В настоящее время проводятся исследования, направленные на изучение природы токсинов и факторов, вызывающих их выделение [6].

В водах Таганрогского залива наиболее распространены Aphanizomenon flos-aquae, Microcystis aeruginosa, Anabaena spp. Эти виды могут выделять яды, относящиеся к гепатотоксинам и нейротоксинам [7].

Исследованию цветения потенциально вредоносных цианобактерий посвящено множество отечественных и зарубежных работ. В работе [8] исследуется роль фосфора в стимулировании развития синезеленых водорослей. В исследовании [9] моделируется процесс вертикального движения цианобактерий вида Microcystis, которое позволяет им занимать доминирующее положение в период цветения водоема. Влияние интенсивности светового излучения и перемешивания вод под действием ветра на развитие водорослей моделировалось с помощью систем Ansys Fluent и MATLAB, что описано в работе [10]. Авторами исследования [11] для прогнозирования развития синезеленых водорослей использовались авторегрессионные и многомерные версии линейной регрессии, случайного леса и нейронных сетей Long Short-Term Memory (LSTM). В работе [12] предлагается нестационарная трехкомпонентная математическая модель для изучения конкуренции между двумя типами фитопланктона (в том числе токсичного) и поглощения их зоопланктоном.

Проведенный авторами обзор современных исследований выявил пробел в научном знании, который заключается в отсутствии комплексного подхода, связывающего авторскую модель динамики фитопланктонных популяций, построенную на основе уравнений конвекции-диффузии, с моделью гидродинамики, в игнорировании влияния абиотических факторов, в использовании одно-, двумерных моделей и готовых комплексов программ, не дающих достоверных результатов для прибрежных систем. Авторы исследования считают, что этот пробел возможно устранить путем применения комплексного подхода к моделированию динамики фитопланктона в прибрежных системах Таганрогского залива, который учитывал бы их существенные особенности: значительные перепады глубин, солености, сложную геометрию расчетной области, повышенный приток биогенных веществ и др.

Согласно постановлению Правительства РФ № 219 от 10 апреля 2007 г., одной из целей мониторинга водных объектов является «своевременное выявление и прогнозирование негативного воздействия вод, а также развития негативных процессов, влияющих на качество воды в водных объектах и их состояние, разработка и реализация мер по предотвращению негативных последствий этих процессов»1. Развитие методов математического моделирования и разработка на их основе программных комплексов позволяют получать прогнозы развития опасных явлений в сложных природных системах. Такие данные могут быть переданы лицам, принимающим решения, для контроля и управления ситуацией в прибрежных районах. Одним из способов реабилитации Таганрогского залива могут стать меры по замещению синезеленых водорослей зелеными. В работе [13] отмечается, что в тех областях водоема, где увеличилось количество зеленых водорослей по отношению к синезеленым и диатомовым, повысилась способность водного объекта к самоочищению. В работе [14] исследована динамика развития микроводорослей в местах забора питьевой воды, отмечено угнетающее влияние цветения цианобактерий, предложена система мониторинга динамики фитопланктонных популяций.

В связи с необходимостью прогнозировать возникновение опасных «цветений» микроводорослей построение комплексных математических моделей развития фитопланктонных популяций (с учетом адвективного и диффузионного переносов, погодных условий, геометрии расчетной области, лимитирования роста микроводорослей наличием питательных веществ, режимов солености и температуры [15]) обладает высокой актуальностью. Применение предложенных в статье математических методов обусловлено тем, что они дают достаточно высокую точность моделирования процессов, происходящих в сложных природных системах при небольшом наборе входных данных, а также выходят дешевле, чем экспедиционные исследования.

Целью данного исследования является среднесрочное прогнозирование развития синезеленых водорослей в период вегетации с применением методов математического моделирования. Для этого авторами решены следующие задачи:

Материалы и методы. Исследование основывается на трехмерной модели динамики фитопланктонных популяций, построенной на системе уравнений конвекции-диффузии-реакции с нелинейными функциями источников. Разностная аппроксимация модели выполнена на основе явно-неявных схем расщепления. Для построения трехмерной области вычислений применен авторский метод интерполяции значений глубин. Он также использован для интерполяции значений солености и температуры по картографической информации

Трехмерная модель динамики фитопланктонных популяций базируется на работах Сухинова А.И., Якушева Е.В. [16][17] и строится на системе нестационарных уравнений конвекции-диффузии-реакции:

(1)

где qi — концентрация i-ой компоненты, мг/л, ; V = (u, v, w) — вектор скорости водного потока, м/с; μ = {μ, μ, v} — коэффициенты турбулентного обмена, м²/с;  — нелинейная функция-источник биогенных веществ, мг/(л с); ∇ — градиент; 1 — синезеленая водоросль Aphanizomenon flos-aquae (потенциально токсичная; 2 — зеленая водоросль Chlorella Vulgaris (входит в основание пищевой пирамиды); 3 — растворенный органический фосфор; 4 — взвешенный органический фосфор; 5 — фосфаты; 6 — нитраты; 7 — нитриты; 8 — аммиак; 9 — растворенный кислород: в основном попадает в водную среду с поверхности водоема в результате перемешивания (главным образом волнения под действием ветра), выделяется водными растениями в процессе фотосинтеза при наличии света и потребляется в процессе дыхания при отсутствии света.

Уравнения, описывающие циклы превращений моделируемых субстанций, приведены в работе [18].

Скорость роста фитопланктонных популяций определяется наличием питательных веществ (фосфатов, нитратов, нитритов и аммония), оптимальностью значений температуры, солености и освещенности. Биомасса уменьшается за счет экскреции и отмирания. Зеленые водоросли конкурируют с цианобактериями за ресурсы. Скорость роста фитопланктонных популяций выражается функцией зависимости от солености S, температуры T, освещенности I и достаточного количества молекул растворенного кислорода в воде. Также рост микроводорослей зависит от концентрации основных питательных веществ — соединений азота (нитраты NO3, нитриты NO2, аммиак NH4) и фосфора (фосфаты PO4, растворенный органический фосфор DОР, взвешенный органический фосфор РОР). Для системы (1) ставится начально-краевая задача, добавляются соответствующие начальные и граничные условия [18].

Численное решение задачи динамики фитопланктонных популяций заключается в преобразовании входных данных с использованием методов математического моделирования. При решении задачи (1) в качестве входных данных используются значения компонент вектора водного потока в узлах расчетной сетки, он рассчитывается на основе модели гидродинамики [19], значений солености , температуры и концентраций q0i в момент времени t0.

Для разностной аппроксимации область моделирования покрывается расчетной сеткой , равномерной по времени и трем пространственным направлениям:

,

где τ — шаг по времени, 0 ≤ t ≤ T; hx, hy, hz — шаги в пространственных направлениях; Lx, Ly, Lz — максимальные размеры расчетной области в пространстве.

Для дискретизация задачи (1) использованы явно-неявные схемы:

,

где qn+σ = σ qn+1 + (1 – σ)qn, σ ∈ [0,1] — вес схемы.

Результатом применения такого подхода к аппроксимации уравнений конвекции-диффузии-реакции является цепочка двумерно-одномерных задач. В направлении осей Ox и Oy аппроксимация производится симметричной схемой с весами (Кранка-Николсона). В направлении оси Oz используется явная схема, а для программной реализации — метод прогонки.

Авторский метод интерполяции значений глубин, солености и температуры применен для построения равномерной пространственно-временной сетки. Для определения границ области вычислений по вертикали используется картографическая информация, например лоцманские карты, применяемые для нужд судоходства и рыболовной промышленности. Часто информация о глубинах водоема задана в определенных точках или изолиниями уровня и может отсутствовать в точках расчетной сетки. На рис. 1 приведено исходное изображение рельефа дна Азовского моря, на котором глубины обозначены изолиниями уровня.

Подобные карты не обладают достаточной степенью гладкости в точках склейки, поэтому в данной работе применен алгоритм интерполяции [20]. Для построения функции рельефа дна с достаточной степенью гладкости решается уравнение:

(2)

Фундаментальная система решений уравнения (2) имеет вид:

(3)

Интерполяция значений глубин осуществляется на основе сплайнов функции (3).

Алгоритм работы программного модуля: на вход подается файл в формате .txt, содержащий массив с изолиниями уровня глубин или точками, обозначающими глубины, далее строится схема четвертого порядка точности для оператора диффузионного переноса [20]. Полученные сеточные уравнения решаются адаптивным модифицированным попеременно-треугольным методом вариационного типа. На выходе получаем текстовый файл, содержащий массив значений глубин Азовского моря.

Результаты исследования. В результате исследования авторами получен среднесрочный прогноз распределения синезеленых и зеленых водорослей на основе комплексного подхода с использованием моделей динамики фитопланктонных популяций и гидродинамики. На рис. 2 представлен результат работы авторского алгоритма — восстановленная карта глубин Азовского моря.

На основе разработанного метода также были получены пригодные для моделирования достаточно гладкие распределения значений солености и температуры, изображения которых приведены на рис. 3.

Полученные распределения глубин, солености и температуры были использованы в качестве входных данных для решения задачи (1). На рис. 4 изображены концентрации двух фитопланктонных популяций, полученные в результате вычислительного эксперимента. В качестве входных данных для программного модуля подавались равномерные распределения моделируемых субстанций, временной интервал — 30 дней.

Обсуждение. Интерполяции распределения глубин, солености и температуры, полученные с помощью представленного авторами данной работы алгоритма, обладают достаточной степенью гладкости в точках склейки. Проведенный вычислительный эксперимент показал, что ареал у синезеленых водорослей шире, чем у зеленых водорослей — они распространены по всему Таганрогскому заливу и течениями выносятся в основную часть Азовского моря.

Математическая модель динамики фитопланктонных популяций учитывает ограничение питательными веществами развития микроводорослей, влияние гидрологического режима на значение коэффициента роста, географическую динамику под действием процессов конвекции и диффузии, кислородный режим. Использование данной модели в комплексе с моделью гидродинамики позволяет получить трехмерные изображения распределения моделируемых субстанций и учесть, помимо биологических особенностей развития фитопланктона, пространственно-временную динамику биомассы и особенности геометрии расчетной области.

Заключение. Описанная математическая модель и предложенные методы встроены в программный комплекс Azov3D, что позволяет прогнозировать развитие опасных цветений фитопланктонных популяций (эвтрофикацию) при различных погодных условиях, учитывать изменения солености, температуры, картины течений, наличие питательных веществ и кислородный режим. Построенные прогнозы могут быть использованы в выработке стратегии по управлению устойчивым развитием такого важного природного объекта, как Таганрогский залив. В настоящее время разрабатываются различные стратегии управления этой сложной водной экосистемой, определяются механизмы ее безопасности — возможные сценарии предотвращения заморных явлений и эвтрофикации. Методы математического моделирования, развитию которых посвящена данная статья, предоставляют относительно недорогой и оперативный инструментарий мониторинга и прогнозирования состояния водных экосистем.

1. Об утверждении Положения об осуществлении государственного мониторинга водных объектов. Постановление Правительства РФ № 219 от 10 апреля 2007 года. URL: https://docs.cntd.ru/document/902037173/titles/6560IO (дата обращения: 25.11.2025). 2. Оперативный модуль ЕСИМО. Температура поверхности воды в Азовском море. Единая государственная система информации об обстановке в мировом океане. URL: http://hmc.meteorf.ru/sea/azov/sst/sst_azov.html (дата обращения: 25.11.2025).