Уточнение модели низового лесного пожара с учетом конвективной турбулентности

Введение. По данным ООН, к концу XXI века количество интенсивных лесных пожаров возрастет на 50 %. В 2003 году пожары в Сибири (Российская Федерация) уничтожили около 22 млн га лесных экосистем. В 2004 году на Аляске (США) пострадало 2,6 млн га леса. В 2010 году в Боливии уничтожено 1,5 млн га лесных экосистем. В Канаде в 2011 году погибло 0,7 млн га, а в 2014 году — 3,4 млн га. В 2020 году в Австралии лесные пожары уничтожили более 16,8 млн га леса. Экономический ущерб исчисляется миллиардами долларов.

Частота лесных пожаров и ущерб от них ставят вопросы об адекватном моделировании соответствующих рисков их возникновения, о прогнозировании развития чрезвычайной ситуации и разработке мер по снижению потерь. Построение модельных уравнений предполагает, что горение происходит на определенной площади в течение конкретного времени. Необходимо также рассчитать возможную длительность пожара, которая зависит от комплекса факторов, зачастую трудно определяемых [1].

Полуэмпирические модели позволяют подбирать и уточнять параметры для эффективного прогноза пожаров в лесных экосистемах. Такие формулы базируются на законах сохранения массы, энергии и движения. Они предполагают запись модельных уравнений в упрощенном виде, а соответствующие коэффициенты или эмпирические параметры можно получить в результате наблюдений или экспериментов [2]. Рассмотренные модели распространились в середине XX века и использовались в основном для прогноза динамики низовых пожаров. Обычно в них учитываются параметры горючести лесного материала, в том числе исходное состояние древостоя и рельеф местности.

Определяющими факторами возникновения и развития лесного пожара будут метеорологические условия, особенно ветер. Горючесть материла лесной подстилки или уклоны местности, учитываемые, например, в модели Ричарда Ротермела [1–3], имеют второстепенное значение. Цель данного исследования — уточнить математическую модель распространения лесных пожаров. Она позволит точнее прогнозировать развитие чрезвычайной ситуации и, соответственно, более оперативно и адекватно реагировать на нее. Своевременная реакция и принимаемые меры должны сократить потери, связанные с пожарами.

Материалы и методы. Исследование базируется на анализе трудов о нестационарности приземного слоя Д.Л. Лайхтмана, о строении пограничного слоя А.С. Гаврилова и др. [4][5], о пятнистости лесных пожаров и вероятности их преобразований в интенсивные верховые П.М. Матвеева и др.

Авторы задействовали также литературные, аналитико-статистические, аналитико-графические методы, математическое моделирование.

Для данного исследования проанализированы проблемы математического моделирования при прогнозировании лесных пожаров. Отмечены практически непреодолимые сложности расчетов по наиболее опасным верховым пожарам [6–8], которые обусловлены неизвестными физическими характеристиками перераспределения тепла и количества движения воздуха — факторами, определяющими параметры пожара.

Итак, следует отметить, что в математических моделях не представлена трансформация пятнистых возгораний в интенсивный верховой пожар [9]. В 70-е годы XX века П.М. Матвеев установил, что пожар становится пятнистым, если интенсивности конвективных потоков хватает для поднятия и переноса горящих частиц. При этом времени их горения должно быть достаточно, чтобы поджечь удаленные от очага объекты: лесную подстилку, надпочвенный покров, древостой и пр.

В 1964 году Н.П. Курбатский предложил первую модель тепломассообмена. В ней площадь выгора оценивалась по скорости приземного воздуха, как и большинство моделей распространения огня. В 2018 году группа авторов предложила современную версию модели тепломассообмена для прогноза пятнистости возгораний, отметив сложности при составлении уравнений и не решив проблему до конца [9].

Как показано в [1–3], пятнистость свойственна любому верховому пожару при усилении ветра. Однако с точки зрения физики приземного слоя сильный приземный поток (ветер) будет способствовать возгоранию и распространению огня на первой стадии пожара. На второй стадии развиваются оба вида конвекции:

• внутренняя (порождаемая пожаром, собственная, тепловая, с неустойчивым приземным слоем воздуха);
• внешняя (создается внутримассовыми условиями, скорость приземного потока утрачивает значение и препятствует трансформации низового пожара в пятнистый, верховой).

Гаврилов А.С., Мханна А.И., Харченко Е.В. в статье «Верификация модели атмосферного пограничного слоя применительно к задачам прогноза загрязнения атмосферы от очагов лесных пожаров» подчеркивают необходимость учета доли турбулентного притока тепла в условиях нестационарного приземного слоя с развитой тепловой турбулентностью [4]. Установлено, что даже при весьма незначительном тепловом потоке, q = 0,003 Вт/м² в приземных условиях, интенсивность турбулентного притока тепла существенно увеличивалась — за 35 минут с 0 до +10,2 °С.

Таким образом, очевидна роль конвекции, особенно тепловой внутренней [4][5]. Этот фактор нужно учитывать при построении математических моделей трансформации пятнистых лесных пожаров в верховые.

Результаты исследования. Модель Р. Ротермела [1][6] базируется на эмпирическом материале и позволяет результативно рассчитывать параметры низового лесного пожара (рис. 1).

Для прогнозирования поведения лесного пожара вычисляются параметры эллипса: a, b и с (формулы 1–3). При этом центральной расчетной характеристикой модели будет скорость продвижения лесного пожара, ω_n (м/сек), определяемая по (4) [1].

(1)

(2)

(3)

(4)

где a — отрезок эллипса (высота); b — отрезок эллипса (длина во фронтальной зоне огня); c — отрезок эллипса (длина выгора); LB — ширина отрезка эллипса b; HB — высота отрезка эллипса b; U — скорость потока (ветра), м/сек; ω_n — скорость продвижения лесного пожара, м/мин; ω₀ — плотность пласта горючих веществ, кг/м³; k(U) — величина частичек вегетативной прогораемой материи, м²; k(S) — скорость полного прогорания растительности, м/мин.

Авторы полагают, что данная модель неприменима для прогнозирования пятнистых и интенсивных верховых пожаров. Кроме того, она практически не учитывает метеорологические параметры за исключением скорости приземного потока (ветра) [7][8]. В этой связи следует уточнить основное прогностическое уравнение (2), включив в него дополнительные параметры. Так, в 1967 году М.А. Софронов предложил при оценке скорости распространения низового пожара учитывать не только скорость ветра, но и относительную влажность воздуха с учетом ее суточных флуктуаций, а также уклон местности, шероховатость или вязкость поверхности [9–11].

Если верховой пожар эволюционировал из низового, скорость распространения огня нужно вычислять на двух уровнях: приповерхностном (0–1 м) и приземном (1–2 м) [12]. В приповерхностном слое важнее учесть характеристики горящего вещества, включая его плотность и количество (см. формулу 4). В приземном слое (второй уровень модели) более важными будут такие параметры, как температура и влажность воздуха, вертикальные и горизонтальные скорости потока:

(5)

где ω_n1 — скорость продвижения огня в приземном слое, м/мин; ω_n — скорость продвижения пожара в приповерхностном слое, м/мин, из формулы (4); t₀ — температура воздуха в приповерхностном слое, °С; t₁ — температура воздуха в приземном слое на высоте 1–2 м, °С; v₀ — скорость потока воздуха в приповерхностном слое, м/сек; v_g — горизонтальная составляющая скорости потока воздуха, м/сек; f₀ — относительная влажность воздуха в приповерхностном слое воздуха, %; f₁ — относительная влажность воздуха в приземном слое на высоте 1–2 м.

При пятнистом и интенсивном верховом пожаре развивается внутренняя (термическая) и внешняя (механическая) конвекция. Турбулентность «разбрасывает» частицы вверх и в стороны от очага, что может существенно изменить параметры a, b и c.

Авторы отмечают, что в приповерхностном слое (0–1 м) бессмысленно учитывать турбулентность, так как она гасится поверхностным слоем лесной подстилки или почвы. Для учета турбулентности приземных слоев воздуха следует руководствоваться представлениями о нестационарности и физических закономерностях приземного слоя воздуха:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

где u — скорость потока воздуха, м/сек; t — температура воздуха, °С; z — высота, м; Θ — приток тепла, Дж/с м²·кг; b — энергия турбулентности, Дж/кг; g — ускорение свободного падения, м/сек²; l — масштаб турбулентности, м; k — коэффициент турбулентности, м/сек; c — постоянная Д.Л. Лайхтмана (~0,046); αb — постоянная Д.Л. Лайхтмана, рассчитанная по анализу размерностей (0,73); κ — постоянная Кармана, вычисленная для решения данной задачи (~0,397).

Исходя из представлений Д.Л. Лайхтмана о физических закономерностях нестационарного приземного слоя воздуха, можно сделать вывод о роли турбулентных движений в распределении тепла, энергии, частиц воздуха. В случае диффузии вещества и энергии при нагревании и трансформации поверхностного слоя почвы в условиях пожара [13–15] моделирование основывается на теории градиентного переноса. Коэффициент турбулентной диффузии — k. Значение диффузионного переноса в вертикальной плоскости — k_z. Горизонтальные составляющие коэффициента турбулентности будут пренебрежимо малы из-за шероховатости поверхности и действия силы трения. Для упрощения модельного уравнения следует воспользоваться уравнением М.И. Будыко, рассчитывающим коэффициент вертикальной диффузии k_z на единичном уровне:

(11)

где k_z — коэффициент вертикальной диффузии, м/сек; k₁p — значение k_z на единичной высоте z₁ и в равновесных условиях, на высоте 1 м составляет 0,1–0,2 м/сек;  — среднее по пограничному слою число Ричардсона, безразмерный показатель:

(12)

где T — температура воздуха, °С; T_a — температура в абсолютной шкале, К; g — ускорение свободного падения (9,8 м/сек²).

Авторы предлагают внести дополнения в исходную формулу (2) модели Р. Ротермела для уточнения развития пожара от низового к интенсивному верховому (второй слой модели), рассчитывая скорость продвижения огня ω_n1 в приземном слое по формуле (5). При этом уравнение (2) дополняется выражением для расчета коэффициента турбулентности k_z и заменяется им безразмерный показатель 0,397, поскольку по смыслу последний выполняет роль параметра, снижающего ширину отрезка эллипса a. По мнению авторов данной работы, учет интенсивной конвекции и последующей турбулентности способен скорректировать ширину отрезка a с большей точностью по отношению к реальным условиям. Тогда формулу (2) можно представить:

(13)

С учетом выражений (11) и (12) получим итоговое:

(14)

В таблице 1 представлены результаты апробации уравнения (14) и моделирования характерных случаев развития конвективной турбулентности.

Обсуждение и заключение. Итак, рассмотрена модель горения в условиях нестационарного приземного слоя. Значения отрезка a эллиптического контура пожара с учетом уточненного выражения (14) сравнивались с классической формулой Р. Ротермела [16]. Анализ результатов моделирования с коэффициентом турбулентности (таблица  1) позволил выявить наибольшие отклонения указанных значений. При этом не обнаружены существенные различия параметров эллипса b и c, что может подтвердить целесообразность предложенного уточнения.

Адекватность полученных значений отрезка a эллипса определена по критерию Стьюдента (двухвыборочный t-критерий). Для этого сравнивались вычисленные значения отрезка эллипса a в полуэмпирической модели Р. Ротермела и в предложенном авторами уравнении (14). Результаты проверки приводятся в таблице 2. Вычисленное значение t-критерия Стьюдента намного меньше критического (табличного): 0,609 < 2,776. Это доказывает статистическую сходимость результатов расчетов в уточненной модели, представленной выражением (14).

Таким образом, введение выражения (14) обосновано для нестационарного приземного слоя (второй слой модели) и позволяет существенно корректировать размеры отрезка a эллипса с учетом внутренних и внешних вертикальных конвективных потоков, которые формируют турбулентность приземного слоя и трансформируют низовой лесной пожар в интенсивный верховой.

Скорректированная модель дает возможность более эффективно рассчитывать параметры пятнистых и интенсивных верховых пожаров в пределах лесных экосистем. Перспективны дальнейшие уточнения уравнений полуэмпирических моделей лесных пожаров. Следует продолжать исследования в этом направлении.