Метод вероятностной сетки для закона Фишера – Типпета

Введение. Графическое представление результатов статистического анализа в виде вероятностных графиков широко применяется в современных программных комплексах, в частности при анализе надежности или выживаемости. Это позволяет оценить параметры закона распределения и идентифицировать выбросы¹. Оценка параметров с помощью вероятностных сеток используется наряду с другими известными методами и в некоторых случаях может быть предпочтительнее. Вероятностные графики применяют при обработке результатов ресурсных испытаний² и составлении контрольных карт в системах управления качеством³. Метод вероятностной сетки позволяет визуально оценить соответствие набора данных предполагаемой модели случайной величины, о чем говорится в работах
Дерябина М.А. [1], Добротина С.А. [2], Шпера В.Л. [3], Буланова Я.И. [4], Аблазовой К.С. [5], Великановой Н.П. [6], Хазановича Г.Ш. [7] и других современных ученых.

Касьянов В.Е. [8] и Котесов А.А. [9] для вероятностной оценки нагруженности элементов машин и конструкций предлагают использовать одну из форм обобщенного распределения экстремальных значений [10] с определенным видом параметризации, которую предлагают называть законом Фишера – Типпета. Данная модель похожа на трехпараметрический закон Вейбулла, но в отличие от него ориентирована на максимальное значение. Закон Фишера – Типпета подходит для оценки показателей надежности совместно с законом Вейбулла, к примеру, при использовании модели отказа нагрузка — прочность [11].

Графическое представление результатов вычислений и методика оценки параметров для данного закона не обоснованы должным образом. В научной литературе и нормативно-технической документации не представлена методика оценки параметров с помощью вероятностной сетки, что ограничивает практическое применение закона Фишера – Типпета. Поэтому основная цель данного исследования заключалась в обосновании и разработке методики оценки параметров закона Фишера – Типпета с использованием метода вероятностной сетки.

Материалы и методы. Оценка параметров распределения с помощью вероятностных графиков основана на группировке данных по интервалам и построении интервального эмпирического распределения независимо от предполагаемого теоретического распределения. Поэтому такие методы часто называют непараметрическими или ранговыми. Вероятностная сетка строится для конкретного закона распределения вероятностей с целью получения линейной зависимости между переменными⁴. Построение графика предполагает линейную аппроксимацию массива эмпирических точек на вероятностной сетке. Поэтому такой подход считается несколько грубым, но достаточно часто применяется наряду с другими. Метод вероятностной сетки может быть определяющим в случае, когда другие методы несостоятельны. К примеру, при получении оценок параметров методом максимального правдоподобия функция правдоподобия может содержать несколько локальных максимумов. В этом случае оценки параметров могут быть весьма неточными [12].

Для обоснования вероятностной сетки функцию распределения вероятностного закона необходимо привести к линейному виду. Функция распределения закона Фишера – Типпета определяется выражением:

 (1)

где x — значение случайной величины; a, b, c — соответственно параметры масштаба, формы и сдвига распределения.

Преобразуем функцию распределения (1) путем логарифмирования левой и правой части. При условии, что c > х, получим:

 (2)

Очевидно, что выражение (2) — это линейная функция вида:

 (3)

где х — переменная функции; q и m — константы.

Сопоставив (2) и (3), получим:

Выражение (2) отличается от аналогичного, обоснованного для закона Вейбулла с тремя параметрами, только правой частью:

Поэтому для построения вероятностного графика закона Фишера – Типпета целесообразно использовать основные положения ГОСТ 11.008 и ГОСТ 50779.27. Согласно этим стандартам, при графическом анализе статистические данные наносятся на вероятностную сетку, а затем оцениваются параметры распределения. Отметим, что метод вероятностной сетки реализуется как графоаналитическим способом, так и полностью аналитическим. Поэтому для устранения возможной неясности будем называть оценку параметров с помощью метода вероятностной сетки — графической, а оценку методом максимального правдоподобия — аналитической.

Левая часть выражения (2) позволяет определить ординату вероятностной шкалы для оценки параметра масштаба. Предположим, что с – х = а. Подставив это значение в (2), получим:

 (4)

Результат (4) позволяет сделать вывод, что абсцисса точки аппроксимирующей прямой с нулевой ординатой будет оценкой параметра масштаба.

По оси абсцисс вероятностного графика может быть использован десятичный логарифм. В этом случае зависимость (2) примет вид:

Важный момент при реализации метода вероятностной сетки — предварительная обработка исходных статистических данных, в частности, получение интервального вариационного ряда и оценка значений эмпирической функции распределения. Как правило, для получения эмпирической функции распределения применяется ранговый метод, который базируется на оценке позиции распределения упорядоченных данных с учетом характеристик вариационного ряда (среднего значения, медианы, моды и т. д.). Поэтому для определения ординат точек применяются различные зависимости, в том числе выражения для приближенной оценки [13]. В данном случае выбор будет обусловлен количеством эмпирических данных, предполагаемым теоретическим распределением и видом вероятностного графика. При этом учитывается необходимость адекватного описания крайних членов вариационного ряда [14].

Следует отметить, что некоторые ранее обоснованные подходы к оценке эмпирической функции распределения подвергаются критике, и это может быть предметом отдельного рассмотрения [15].

Результаты исследования. Методом обратных функций выполнено моделирование набора случайных данных без определенного физического смысла, распределенных по закону Фишера – Типпета.

Обратная функция распределения получена аналитически из выражения (1):

 (5)

Моделирование выполнено с помощью программного комплекса Маtlab 8.6 («Матлаб 8.6», рис. 1) по заданным параметрам закона — a, b, c. Исходные данные для моделирования представлены в таблице 1.

Результаты моделирования в виде набора случайных данных x_i представлены в таблице 2.

Выполнена аналитическая оценка параметров масштаба, формы и сдвига. Оценки обозначены соответственно — a΄, b΄, c΄ (таблица 3).

Закон Фишера – Типпета, в отличие от закона Вейбулла, имеет ограничение справа и задает максимальное значение случайной величины, поэтому для получения вариационного ряда необходимо упорядочить значения набора данных (выборки) от максимума до минимума.

Если объем выборки n ≤ 30, то не рекомендуется группировать данные по интервалам. В данном случае каждой варианте будет присвоен ранг j, а для оценки значений эмпирической функции распределения рекомендовано использовать приближение для медианной позиции рангов [16]:

 (6)

где x_i — упорядоченное от максимума до минимума значение варианты выборки, соответствующее j-му рангу;
j — порядковый номер ранга; n — объем выборки.

В противном случае при n > 30 необходимо выполнить группировку данных по интервалам в соответствии с абсолютным размахом выборки. При этом количество интервалов k рекомендовано принимать в пределах
7 ≤ k ≤ 40 в зависимости от объема выборки n. Для группировки данных необходимо определить границы интервала, подобрав значения X΄ ≤ x_min и X΄΄ ³ x_max, и разбить полученный интервал [X΄; X΄΄] на интервалы равной длины h:

 (7)

Затем следует получить интервальный вариационный ряд, определив количество значений выборки n_i, попавших в каждый интервал. Каждый интервал описывается абсциссой X_i, которая определяет позицию распределения упорядоченных данных.

Для средней позиции эмпирическая функция распределения оценивается с помощью выражения:

 (8)

где X_i — середина i-го интервала; n_i — количество вариант выборки, попавших в i-й интервал; k — количество интервалов; n — объем выборки.

В качестве примера сгруппированы и рассчитаны значения эмпирической функции распределения (рис. 2) для набора данных из таблицы 3.

На рис. 2 по оси ординат указана величина вероятности, по оси абсцисс — значения набора данных (выборки) без определенного физического смысла.

Для группировки данных принято k = 25, X΄ = 84, X΄΄ = 242 и определено значение h = 6,32. Одно значение выборки попало в первые три интервала, поэтому их объединили. Итоговое количество интервалов — k = 23. Результаты вычислений представлены в таблице 4.

По оси абсцисс вероятностного графика принимаем шкалу с десятичным логарифмом. Результаты вычислений в столбцах 8 и 9 таблицы 4 определяют координаты точек для построения графика {Lg(X_i); Ln(–Ln(1–(F(Х_i)+F(Х_i+1))))}.

На следующем этапе оценивается параметр сдвига. Для этого сквозь массив точек (поз. 1 рис. 3) необходимо провести плавную кривую (не прямую) (поз. 2 рис. 3).

В точке пересечения прямой аппроксимирующей точки и прямой с «нулевой» ординатой (поз. 7 рис. 3) выполняется графическая оценка параметра масштаба А΄.

На рис. 3 по оси ординат указана величина вероятности, по оси абсцисс — значения набора данных (выборки) без определенного физического смысла.

Координаты точек крайних членов вариационного ряда обозначаются через {Х₁; Y₁} и {Х₂; Y₂}, и оценивается координата Y₃:

 (9)

С помощью ординаты Y₃ на ранее обозначенной кривой следует определить абсциссу Х₃ (поз. 3 рис. 3). Затем оценивается параметр сдвига С΄:

 (10)

В представленном примере крайние члены вариационного ряда — это средние точки интервалов i = 1 и i = 23 с координатами {Lg(X₁); Ln(–Ln(1–(F(Х₁)))} и {Lg(X₂₃); Ln(–Ln(1–(F(Х₂₂)+F(Х₂₃)))}. Соответственно, Y₁ = Ln(–Ln(1–(F(Х₁))), Y₂ = Ln(–Ln(1–(F(Х₂₂)+F(Х₂₃))), X₁ = Lg(X₁); X₂ = Lg(X₂₃). В результате графическая оценка параметра сдвига С΄ = 248,88. Используем ее для корректировки абсциссы всех точек, определив величины (С΄–Х_i), и нанесем на график точки с соответствующими координатами (поз. 4 рис. 3). Как видно, после корректировки точки выстроились «ровнее», что позволяет провести через них прямую линию (поз. 5 рис. 3).

Оценка параметра формы соответствует показателю угла наклона аппроксимирующей прямой (поз. 5 рис. 3) к оси абсцисс. Для графической оценки параметра можно использовать координаты точек или специальную шкалу (при наличии). При оценке параметра формы по координатам необходимо выражать величины по оси абсцисс в масштабе натурального логарифма, т. е. использовать величину Ln(X) вместо Lg(X).

В рассмотренном примере представлена шкала для графической оценки параметра формы B΄ (поз. 8 рис. 3). Для построения шкалы выполнен расчет координат точек {Lg(X); Ln(Y)} по заданным значениям параметра формы (таблица 5). Шкала ориентирована на точку отсчета с координатами {0; 0} (поз. 9 рис. 3). Для оценки параметра формы необходимо через точку отсчета провести прямую, параллельную аппроксимирующей прямой (поз. 10 рис. 3).

В результате обработки данных получены графические оценки параметров закона Фишера – Типпета (таблица 6).

После оценки параметров необходимо выполнить проверку с помощью обратной функции (5), используя заданные значения вероятностей:

 (11)

Вычислив значения обратной функции распределения (11) и соединив полученные точки на графике, можно визуально оценить качество модели. Как видно, график обратной функции (рис. 4) плавно описывает массив изначальных точек (поз. 1 и 2 рис. 4). Это позволяет сделать вывод, что полученная модель хорошо описывает данные, и оценка параметров выполнена правильно.

На рис. 4 по оси ординат указана величина вероятности, по оси абсцисс — значения набора данных (выборки) без определенного физического смысла.

Результаты поверочных расчетов представлены в таблице 7.

Как видно, графические и аналитические оценки параметров близки к параметрам, заданным при моделировании набора данных (a, b, c).

Сравнивать полученные оценки по отношению к заданным параметрам не совсем корректно, однако такое сравнение оправданно, если принять заданные параметры за истинные параметры генеральной совокупности, а набор случайных данных х_i считать репрезентативной выборкой. Сравнительный анализ графических и аналитических оценок представлен в таблице 8.

Сравнительный анализ показал, что относительная погрешность графических оценок не превышает 2 % (δ < 2 %). Погрешность аналитических оценок в данном примере оказалась выше, но это не значит, что аналитический метод менее точен.

Обсуждение и заключение. Представленный метод вероятностной сетки для закона Фишера – Типпета адекватен и подходит для практического применения. Например, его можно использовать в программных комплексах или при создании пользовательских приложений для графического представления результатов статистического анализа. Открывается возможность выполнять подгонку модели совместно с другими известными методами, в том числе если они несостоятельны. Предложенную методику построения шкалы для графической оценки параметра формы можно применять при оценке параметра формы закона Вейбулла. Полученные аналитические зависимости, положения методики и графический материал могут быть полезны при разработке соответствующего национального стандарта.